Computeralgebra by Dr. Michael Kaplan (auth.)

By Dr. Michael Kaplan (auth.)

Unter Computeralgebra versteht guy den Grenzbereich zwischen Algebra und Informatik, der sich mit Entwurf, examine, Implementierung und Anwendung algebraischer Algorithmen befasst. Entsprechend dieser Sichtweise stellt der Autor einige Computeralgebra-Systeme vor und zeigt an Beispielen deren Leistungsfähigkeit. Grundlegende Techniken, wie etwa das Rechnen mit großen ganzen Zahlen, werden untersucht. Für komplexe Fragestellungen wie das Faktorisieren von Polynomen, werden mehrere Algorithmen angeboten, da diese verschiedene Stärken haben. Häufig ist der vermeintliche Umweg über andere mathematische Strukturen der schnellste Weg. In den ersten Kapiteln werden die nötigen mathematischen Grundlagen zur Verfügung gestellt. Die folgenden Kapitel können dann weitestgehend unabhängig voneinander gelesen werden. Alle vorgestellten Algorithmen werden begründet und teilweise in einer Pseudoprogrammiersprache dargestellt. Das Buch richtet sich gleichermaßen an Studierende der Mathematik und der Informatik.

Weitere Informationen zum Buch unter: http://www.ma.tum.de/~kaplan/CA-Buch/

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Folgerung: Es seien n ≥ 1 , p0 ∈ ❈ \ {0} , p(x) = x1 ∈ ❈ eine Wurzel von p(x) . 4 Hilfssatz: n i=0 pi xi ∈ ❈[x] |p0 | . |p0 | + max{|p1 |, . . , |pn |} n i=0 Es seien p(x) = (x − c)p(x) 2 pi xi ∈ ❈[x] , c ∈ ❈ . Dann gilt = (cx − 1)p(x) ∗ 2 Beweis: Setzt man p−1 = pn+1 = 0 , so ist n+1 n+1 (pi−1 − cpi )xi , (cx − 1)p(x) = (x − c)p(x) = i=0 ∗ und r-Norm des Koeffizientenvektors (cpi−1 − pi )xi i=0 x r := n i=1 |xi |r 1 r , x ∞ := max1≤i≤n |xi | . 5 Satz: (Ungleichung von Landau) Es seien n ≥ 1 , pn ∈ ❈ \ {0} , n p(x) = i=0 pi xi ∈ ❈[x] und x1 , .

M ][x] (fm = 0) mit einem Integrit¨atsring R und g(x) vom Grad n . Dann gilt: m n res(f (x) , g(x)) = fm g(αi ) . i=1 Beweis: Der Beweis wird durch Induktion nach m gef¨ uhrt: F¨ ur m = 0 ist f (x) = f0 ∈ R und damit nach Vorbemerkung 0 res(f , g) = f0n = f0n g(αi ) i=1 Es sei also m > 0 . -vor. 4 Satz: gilt: 33 Es seien R nullteilerfrei und f (x) , g(x) ∈ R[x] \ {0} . Dann res(f (x), g(x)) = 0 ⇐⇒ deg(ggT(f (x) , g(x))) > 0 . Allg. in R[x] nicht existiert, ist dabei ein Element aus K[x] , wobei K der Quotientenk¨orper von R sei.

A(t) r ) · Bj mod B1 , . . , Br ∂xj 1 2 r (t+1) ⇒fi (a1 (t) (t) , . . , a(t+1) ) ≡ fi (a1 , . . , a(t) r r )+ uij Bj mod I t+1 j=1 (t) (t) (t) ∂fi mit uij := ∂x (a1 , . . , ar ) . (Wegen B1 , . . , Br ∈ I t gilt das j ur das so genannte sogar mod I 2t , doch das braucht man hier nicht. F¨ quadratische Liften nutzt man diesen Sachverhalt allerdings aus. 3 Der Satz von Hensel ⎛ m ⎞ r ⎝vik + 0 mod I t+1 ≡ 53 uij bjk ⎠ qk mod I t+1 (t) ⇐⇒ j=1 k=1 r (t) uij bjk ≡ 0 mod I f¨ ur 1 ≤ k ≤ m und 1 ≤ i ≤ n.

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