Computeralgebra: Eine algorithmisch orientierte Einführung by Wolfram Koepf

By Wolfram Koepf

Dieses Lehrbuch gibt eine Einführung in das moderne Gebiet der Computeralgebra. Während die ersten nine Kapitel den Standardkanon abdecken, werden in den restlichen three Kapiteln Themen behandelt, welche in dieser shape noch nicht in Lehrbuchform erschienen sind und sich für eine weiterführende Vorlesung anbieten.
Die betrachteten Algorithmen werden in Sitzungen mit dem Computeralgebrasystem Mathematica programmiert und getestet. Alle Sitzungen werden alternativ auch als Worksheets für Maple und MuPAD im web bereitgestellt, so dass Mathematica gänzlich durch Maple oder MuPAD ersetzt werden kann.
Durch die Verwendung realer Implementierungen anstelle von Pseudocode werden die betrachteten Algorithmen sofort anwendbar und überprüfbar.
Kenntnisse der höheren Algebra werden nicht vorausgesetzt, dennoch werden alle Beweise geführt. Da das Buch elementar gehalten ist und einen sehr ausführlichen Index besitzt, ist es auch als Nachschlagewerk über Algorithmen der Computeralgebra intestine geeignet.
Der Autor (http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf) ist seit einigen Jahren Sprecher der Fachgruppe Computeralgebra (http://www.fachgruppe-computeralgebra.de) und forscht und lehrt seit vielen Jahren auf dem Gebiet der Computeralgebra.

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Uberschreitet eine Rekursion diese Tiefe, dann wird sie mit einer Fehlermeldung beendet. Dies wollen wir vermeiden. Die obige Definition legt durch die zus¨atzliche unverz¨ogerte Zuweisung mittels = bereits berechnete Werte im Speicher zum sofortigen Abruf ab. Daher geht die Rechnung nun sehr schnell: In[5]:= Timing Fib2 30 Out[5]= 0. Second, 832040 aber man mache sich klar, daß diese Methode u. U. einen hohen Speicherbedarf mit sich bringt. Fib2 Global‘Fib2 Fib2 Fib2 Fib2 Fib2 Fib2 Fib2 Fib2 22 5 24 7 26 9 28 17711 5 46368 13 121393 34 317811 10 Mit f n O g n bezeichen wir – wie u¨ blich – die Landausche Notation mit der Eigen¨ schaft gf nn < n .

1 28 2. Programmieren in Computeralgebrasystemen Darstellung rationaler Zahlen zu, welche immer in gek¨urzte Form gebracht werden. Letzteres erfordert eine Berechnung des gr¨oßten gemeinsamen Teilers von Z¨ahler und Nenner; hierauf kommen wir sp¨ater zur¨uck. Die automatische Vereinfachung betrachten wir im n¨achsten Abschnitt n¨aher. 2 Mustererkennung Die Arbeitsweise von Mathematica beruht im wesentlichen auf dem Prinzip der Mustererkennung. Gibt man einen Ausdruck ein, so wird dieser so lange mit Hilfe eingebauter Umformungsregeln umgeformt, bis keine Ver¨anderung mehr eintritt.

Solche Konstruktionen sind aber h¨aufig durch Hochsprachen-Iterationsfunktionen wie Table, Sum oder Product einfacher und u¨ bersichtlicher zu realisieren: Table erzeugt die Liste der zu multiplizierenden Zahlen und Apply ersetzt den Listenkopf durch die Multiplikation: In[6]:= Apply Times, Table k, k, 100 Out[6]= 9332621544394415268169923885626670049071596826438162146859296389 52175999932299156089414639761565182862536979208272237582511852 10916864000000000000000000000000 und Product erzeugt das Produkt direkt: 100 In[7]:= k k 1 4 Ein Iterator ist eine Liste {k,k1,k2} mit einer Variablen k, welche von k1 bis k2 l¨auft.

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